Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

Una ecuaión lineal de orden \(n\) con coeficientes constantes es una ecuación de la forma

\[a_0x^{(n)} + a_1x^{(n-1)} + a_2x^{(n-2)}+\cdots+a_nx = b(t) \label{eq1}\tag{1}\]

donde \(a_0,\, a_1\,\cdots, a_n\) son constantes, y \(b(t)\) es una función definida en un intervalo \(I\).

Suponiendo que \(a_0\neq 0\) se asume que \(a_0=1\), y la ecuación (\ref{eq1}) toma la forma

\[x^{(n)} + a_1x^{(n-1)} + a_2x^{(n-2)}+\cdots+a_nx = b(t). \label{eq2}\tag{2}\]

Definiendo la siguiente igualdad

\[L(x) = x^{(n)} + a_1x^{(n-1)} + a_2x^{(n-2)}+\cdots+a_nx \label{eq3}\tag{3}\]

la ecuación (\ref{eq2}) se expresa como \[L(x) = b(t).\label{eq4}\tag{4}\]

En la ecuación (\ref{eq4})

• Si \(b(t) = 0\) para toda \(t\in I\), la ecuación \(L(x) = 0\) se llama ecuación homogénea.
• Si \(b(t)\neq 0\) para alguna \(t\) en \(I\), a la ecuación \(L(x) = b(t)\) se le llama ecuación no homogénea.

\(L\) es un operador diferencial que opera en funciones con \(n\) derivadas en \(I\), \[L(\phi) = \phi^{(n)} + a_1\phi^{(n-1)} + a_2\phi^{(n-2)}+\cdots+a_n\phi\]

Ecuaciones homogéneas de segundo orden

Considere la siguiente ecuación diferencial

\[L(x) = x” + a_1x’ + a_2x = 0. \label{eq5}\tag{5}\]

Se propone la siguiente función \(\phi(t) = e^{rt}\) como una solución de la ecuación (\ref{eq5}). Sustituyendo \(\phi(t)\) en la ecuación (\ref{eq5})

\[L(e^{rt} = (r^2 + a_1r + a_2)e^{rt}. \label{eq6}\tag{6}\]

Si \(r\) satisface \(r^2 + a_1r + a_2 = 0,\) entonces \(e^{rt}\) es solución de \(L(x) = 0\). A la ecuación

\[p(r) = r^2 + a_1r + a_2 \label{eq7}\tag{7}\]

se le llama polinomio característico. Sustituyendo (\ref{eq7}) en (\ref{eq6})

\begin{equation}
L(e^{rt}) = p(r)e^{rt} \label{eq8}\tag{8}
\end{equation}

Resultado 4.1 Sean \(a_1\) y \(a_2\) constantes, y considere la siguiente ecuación \[L(x) = x” + a_1x’ + a_2x = 0.\] Si \(r_1\) y \(r_2\) son raíces distintas del polinomio característico \(p(r)\), donde \[p(r) = r^2 + a_1t + a_2,\] entonces las funciones \(\phi_1\) y \(\phi_2\) definidas por \[\phi_1(t) = e^{r_1t}, \quad \phi_2(t) = e^{r_2t} \label{8}\tag{8}\] son soluciones de \(L(x) = 0.\) Si \(r_1\) es una raíz repetida de \(p(r)=0\), entonces las funciones definidas por \[\phi_1(t) = e^{r_1t}, \qquad \phi_2(t) = te^{r_2t} \label{eq9}\tag{9}\] son soluciones de \(L(x) = 0.\)

Si \(\phi_1\) y \(\phi_2\) son dos soluciones cualesquiera de \(L(x) = 0\), y \(c_1,\, c_2\) dos constantes, \(\phi = c_1\phi_1 + c_2\phi_2\) es también una solución de \(L(x) =0\).

Condiciones iniciales

El problema de valor inicial para \(L(x) = 0\) consiste en encontrar una función \(\phi\) que satisfaga \[\phi(t_0) = \alpha, \qquad \phi'(t_0) = \beta, \label{eq10}\tag{10}\] donde \(t_0\) es algún número real, y \(\alpha\) y \(\beta\) son dos constantes dadas.

Teorema de existencia

Para cualquier número real \(t_0\), y constantes \(\alpha\) y \(\beta\), existe una solución \(\phi\) del problema de valor inicial \[L(x) = 0, \quad x(t_0) = \alpha, \quad x'(t_0) = \beta\] en \(-\infty < t < \infty\).

Teorema de unicidad

Sean \(\alpha\) y \(\beta\) dos constantes cualesquiera, y \(t_0\) cualquier número real. En un intervalo \(I\) que contiene al \(t_0\) existe a lo mucho una solución \(\phi\) del problema de valor inicial \[L(x) = 0, \quad x(t_0) = \alpha, \quad x'(t_0) = \beta.\]

Resultado 4.2 Sean \(\phi_1\) y \(\phi_2\) dos soluciones de \(L(x) = 0\) dadas por (\ref{eq8}) cuando \(r_1 \neq r_2\), y por (\ref{eq9}) cuando \(r_1 = r_2\). Si \(c_1\) y \(c_2\) son dos constantes cualesquiera, la función \(\phi = c_1\phi_1 + c_2\phi_2\) es una solución de \[L(x) = 0, \mbox{ en } -\infty < t < \infty.\] De igual menera, si \(\phi\) es cualquier solución de \[L(x) = 0, \mbox{ en } -\infty < t < \infty,\] existen constantes únicas \(c_1\), \(c_2\) tal que \[\phi = c_1\phi_1 + c_2\phi_2.\]

Dependencia e independencia lineal

Dos funciones \(\phi_1\) y \(\phi_2\) definidas en un intervalo \(I\) se dice que son linealmente dependientes en un intervalo \(I\) si existen dos constantes \(c_1\), \(c_2\), no ambas cero, tal que

\[c_1\phi_1 + c_2\phi_2 = 0 \label{eq11}\tag{11}\]

para toda \(t\) en \(I\). \(\phi_1\) y \(\phi_2\) son linealmente independientes en \(I\) si las únicas constantes que hacen que (\ref{eq11}) se cumpla para toda \(t\) en \(I\) son \(c_1 = c_2 = 0\).

Se define el Wronskiano \(W(\phi_1,\phi_2)\) de dos funciones que tienen primeras derivadas en un intervalo \(I\) como el determinante de la función

\begin{equation}
W(\phi_1,\phi_2) = \begin{vmatrix}
\phi_1 & \phi_2 \\
\phi_1′ & \phi_2′
\end{vmatrix} = \phi_1\phi_2′ – phi_1’\phi_2 \label{eq12}\tag{12}
\end{equation}

Su valor en algún punto \(t\) en \(I\) se denota como \(W(\phi_1,\phi_2)(t)\).

Resultado 4.3 Dos soluciones \(\phi_1\), \(\phi_2\) de \(L(x) = 0\) son linealmente independientes en un intervalo \(I\), si y solo si, \[W(\phi_1,\phi_2)(t) \neq 0 \label{eq13}\tag{13}\] para toda \(t\) en \(I\).

Resultado 4.4 Sean \(\phi_1\), \(\phi_2\) dos soluciones de \(L(x) = 0\) en un intervalo \(I\), y sea \(t_0\) cualquier punto en \(I\). Entonces \(\phi_1\), \(\phi_2\) son linealmente independientes en \(I\), si y solo si \[W(\phi_1,\phi_2)(t_0)\neq 0 \label{eq14}\tag{14} \]

Resultado 4.5 Sean \(\phi_1\), \(\phi_2\) dos soluciones cualesquiera linealmente independientes de \(L(y) = 0\) en un intervalo \(I\). Cada solución \(\phi\) de \(L(x)=0\) puede ser escrita de manera única como \[\phi = c_1\phi_1 + c_2\phi_2 \label{eq15}\tag{15} \] donde \(c_1\), \(c_2\) son constantes.

Ecuaciones homogéneas de orden \(n\)

Sea \(L(x)\) dada por

\[L(x) = x^{(n)} + a_1x^{(n-1)} + a_2x^{(n-2)} + \ldots + a_{n-1}x’ + a_nx, \label{eq16}\tag{16}\]

donde \(a_1,\, a_2,\, \ldots, a_n\) son constantes. Siguiendo un procedimiento similar al caso \(n=2\), resolvemos \(L(x) = 0\) proponiendo la función exponencial \(e^{rt}\), se tienen que

\[L(e^{rt} ) = p(r)e^{rt}, \qquad p(r) = r^n + a_1r^{n-1} + a_2r^{n-2}+\ldots+ a_n \label{eq17}\tag{17}\]

donde \(p\) se llama polinomio característico de \(L\).

Resultado 4.6 Sean \(r_1,\ldots, r_s\) distintas raíces del polinomio característico \(p\), y suponga que \(r_i\) tiene multiplicidad \(m_i\) (\(m_1 + m_2 + \ldots + m_s = n\)). Las funciones \[\begin{split} e^{r_1t},\, te^{r_1t}, \, \ldots, t^{m_1-1}e^{r_1t}; \\ e^{r_2t},\, te^{r_2t}, \, \ldots, t^{m_2-1}e^{r_2t}; \ldots \\ e^{r_st},\, te^{r_st}, \, \ldots, t^{m_s-1}e^{r_st}; \end{split}\label{eq18}\tag{18}\] son soluciones de \(L(x) = 0\).

Dependencia e independencia lineal

Las \(n\) funciones \(\phi_1,\cdots,\phi_n\) definidas en un intervalo \(I\) se dice que son linealmente independientes en un intervalo \(I\) si existen constantes \(c_1,\cdots, c_n\), no todas cero, tal que

\[c_1\phi_1(t) + \cdots + c_n\phi_n(t) = 0 \label{eq19}\tag{19}\]

para toda \(t\) en \(I\). Por otro lado, las \(n\) funciones \(\phi_1, \cdots, \phi_n\) son linealmente independientes en \(I\) si ellas no son linealmente dependientes allí.

Resultado 4.7 Las \(n\) soluciones de \(L(x) = 0\) dadas en (\ref{eq18}) son linealmente independientes en cualquier intervalo \(I\).

Problema de valor inicial para ecuaciones de orden \(n\)

Si \(\alpha_1,\cdots, \alpha_n\) son constantes dadas, \(t_0\) algún número real, el problema de encontrar una solución \(\phi\) de \(L(x) = 0\) que satisfaga

\[\phi(t_0) = \alpha_1, \quad \phi'(t_0) = \alpha_2, \cdots, \phi^{(n-1)}(t_0) = \alpha_n\] se denota por

\[L(x) =0, \quad x(t_0)=\alpha_1, \quad x'(t_0)=\alpha_1, \cdots, x^{(n-1)}=\alpha_n.\]

Teorema de unicidad

Sean \(\alpha_1,\cdots, \alpha_n\) \(n\) constantes cualesquiera, y \(t_0\) cualquier número real. En un intervalo \(I\) que contiene a \(t_0\) existe a lo mucho una solución \(\phi\) de \(L(x)=0\) que satisface

\[\phi(t_0)=\alpha_1,\quad \phi'(t_0)=\alpha_2, \cdots, \phi^{(n-1)}(t_0)=\alpha_n.\]

Teorema de existencia

Sean \(\alpha_1,\cdots, \alpha_n\) \(n\) constantes cualesquiera, y \(t_0\) cualquier número real. Existe una solución una solución \(\phi\) de \(L(x)=0\) en \(-\infty < t < \infty \) que satisface

\[\phi(t_0)=\alpha_1,\quad \phi'(t_0)=\alpha_2, \cdots, \phi^{(n-1)}(t_0)=\alpha_n.\]

El Wronskiano \(W(\phi_1\cdots,\phi_n)\) de \(n\) funciones que tienen \(n-1\) derivadas en un intervalo \(I\) se define como el determinante de la función

\begin{equation}
W(\phi_1\cdots,\phi_n) = \begin{vmatrix}
\phi_1 & \cdots & \phi_n \\ \phi_1′ & \cdots & \phi_n’ \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ \phi_1^{(n-1)} & \cdots & \phi_n^{(n-1)}
\end{vmatrix}. \label{eq20}\tag{20}
\end{equation}

Su valor en algún punto \(t\) en \(I\) se denota como \(W(\phi_1\cdots,\phi_n)(t)\).

Resultado 4.8 Si \(\phi_1,\cdots,\phi_n\) son \(n\) soluciones de \(L(x)=0\) en un intervalo \(I\), ellas son linealmente independientes allí, si y solo si, \(W(\phi_1\cdots,\phi_n)\neq 0\).

Resultado 4.9 Sean \(\phi_1,\cdots,\phi_n\) \(n\) soluciones linealmente independientes de \(L(x)=0\) en un intervalo \(I\). Si \(c_1,\cdots, c_n\) son \(n\) constantes \[\phi = c_1\phi_1 + \cdots + c_n\phi_n \label{eq21}\tag{21} \] es una solución, y cada solución se puede representar de esta forma.

Resultado 4.10 Sean \(\phi_1,\cdots,\phi_n\) \(n\) soluciones de \(L(x)=0\) en un intervalo \(I\) que contiene a \(t_0\). Las soluciones son linealmente independientes en \(I\) si y solo si \(W(\phi_1,\cdots,\phi_n)(t_0)\neq 0.\)

Ecuaciones de segundo orden no homogénea

Considere la siguiente ecuación diferencial

\[L(x) = x” + a_1x’ + a_2x = b(t) \label{eq22}\tag{22}\] donde \(b\) es alguna función continua en un intervalo \(I\). Suponga una función \(\Psi_p\) es una solución particular de (\ref{eq21}), y que \(\psi\) es cualquier otra solución, es decir,

\[L(\psi_p) = b(t), \qquad L(\psi) = b(t),\] si \(\phi_1\) y \(\phi_2\) son dos soluciones linealmente independientes de \(L(x) = 0\), existen constantes únicas \(c_1\), \(c_2\) tal que cada solución de \(\psi\) de \(L(x) = b(t)\) puede ser escrito en la forma

\[\psi = \psi_p + c_1\phi_1 + c_2\phi_2 \label{eq23}\tag{23}\] y \(L(\psi) = b\).

Métodos para encontrar la función \(\psi_p\)

1. Método de los coeficientes indeterminados
2. Método de variacion de parámetros

Método de los coeficientes indeterminados

Se hace una conjetura acerca de la forma de \(\psi_p\) originada por los tipos de funciones que forman la función de entrada \(b\). El método se aplica cuando la ecuación lineal no homogénea se presenta como:

• Los coeficientes son constantes
• La función \(b\) es una constante, una función polinomial, una función exponencial \(e^{\alpha t}\), funciones seno o coseno como \(\sin(\beta t)\), \(\cos(\beta t)\), o sumas y productos finitos de esas funciones.

\(b(t)\)	Forma de \(\psi_p(t)\)
1	\(A\)
\(5t +7\)	\(At + B\)
\(3t^2 – 2\)	\(At^2 + Bt + C\)
\(t^3 – t + 1\)	\(At^3 + Bt^2 + Ct + D\)
\(\sin(4t)\)	\(A\cos(4t) + B\sin(4t)\)
\(\cos(4t)\)	\(A\cos(4t) + B\sin(4t)\)
\(e^{5t}\)	\(Ae^{5t}\)
\((9t – 2)e^{5t}\)	\((At + B)e^{5t}\)
\(t^2e^{5t}\)	\((At^2 + Bt + C)e^{5t}\)
\(e^{3t}\sin(4t)\)	\(Ae^{3t}\cos(4t) + Be^{3t}\sin(4t)\)
\(te^{3t}\cos(4t)\)	\((At + B)e^{3t}\cos(4t) + (Ct + D)e^{3t}\sin(4t)\)
\(5t^2\sin(4t)\)	\((At^2 + Bt + C)\cos(4t) + (Dt^2 + Et + F)\sin(4t)\)

Método de variación de parámetros

Partiendo del hecho de que cada solución \(L(x) = 0\) es de la forma \(c_1\phi_1 + c_2\phi_2\) donde \(c_1\), \(c_2\) son constantes y \(\phi_1\), \(phi_2\) son funciones linealmente independientes. Se propone una función \(\psi_p\) de la forma \(u_1\phi_1 + u_2\phi_2\) en \(I\) como una solución particular de \(L(x) = b(t)\).

Se buscan funciones \(u_1, \, u_2\) tal que \(L(\psi_p) = b\), donde \(\psi_p = u_1\phi_1 + u_2\phi_2\). El procedimiento es como sigue:

Si \(\psi_p\) es una solución particular de \(L(x) = b(t)\), entonces

\[\psi_p” + a_1\psi_p’ + a_2\psi_p = b. \label{24}\tag{24}\]

Ecuaciones a resolver

\begin{equation}\begin{split}
u_1’\phi_1 + u_2’\phi_2 =& 0 \\
u_1’\phi_1′ + u_2’\phi_2′ =& 0
\end{split}\label{eq25}\tag{25}\end{equation}

o utilizando la regla de Cramer e integrando

\[u_1(t) = \int_{t_0}^t{\frac{-\phi_2(\tau)b(\tau)}{W(\phi_1,\phi_2)(\tau)}}d\tau, \quad u_2(t) = \int_{t_0}^t{\frac{\phi_1(\tau)b(\tau)}{W(\phi_1,\phi_2)(\tau)}}d\tau \label{eq26}\tag{26}\] y \(\psi_p = u_1\phi_1 + u_2\phi_2\) toma la siguiente forma

\[\psi_p(t) = \int_{t_0}^t{\frac{(-\phi_2(\tau)\phi_1(t) +\phi_1(\tau)\phi_2(t))b(\tau)}{W(\phi_1,\phi_2)(\tau)}}d\tau \label{eq27}\tag{27}\]

Resultado 4.11 Sea \(b\) una función continua en un intervalo \(I\). Cada solución \(\psi\) de \(L(x) = b(t)\) en \(I\) se puede escribir como \[\psi = \psi_p + c_1\phi_1 + c_2\phi_2\] donde \(\psi_p\) es una solución particular, \(\phi_1\), \(\phi_2\) son soluciones linealmente independientes de \(L(x) = 0\), y \c_1,\,c_2\) son constantes. Una solución particular \(\psi_p\) está dado por la ecuación (\ref{eq27}). Cada solución \(\psi\) es una solución de \(L(x) = b(t)\).

Ecuación no homogénea de orden \(n\)

Sea \(b\) una función continua en un intervalo \(I\), y considere la ecuación

\[L(x) = x^{(n)} + a_1x^{(n-1)} + a_2x^{(n-2)} + \cdots + a_nx = b(t) \label{eq28}\tag{28}\] donde \(a_1,\, a_2,\cdots,a_n\) son constantes. Similar al caso de las ecuaciones de orden dos, cualquier solución \(\psi\) de \(L(x) = b(t)\) se puede escribir en la forma

\[\psi = \psi_p + c_1\phi_1 + c_2\phi_2+\cdots + c_n\phi_n\label{eq29}\tag{29} \] donde \(\psi_p\) es una solución particular de \(L(x) = b(t)\), las funciones \(\phi_1,\,\phi_2,\cdots,\phi_n\) son \(n\) soluciones linealmente independientes de \(L(x)=0\), y \(c_1,\,\cdots,\, c_n\) son constantes.

Para encontrar una solución particular \(\psi_p\) usando el método de variación de parámetros, se propone la siguiente ecuación

\[\psi_p = u_1\phi_1+u_2\phi_2+\cdots+u_n\phi_n \label{eq30}\tag{30}\] donde \(u_1,\,u_2,\cdots, u_n\) son funciones que se obtienen a partir de

\[\begin{pmatrix}
\phi_1 & \phi_2 & \cdots & \phi_n \\
\phi_1′ & \phi_2′ & \cdots & \phi_n’ \\
\vdots & & \vdots & \vdots \\
\phi_1^{(n-2)} & \phi_2^{(n-2)} & \cdots & \phi_n^{(n-2)} \\
\phi_1^{(n-1)} & \phi_2^{(n-1)} & \cdots & \phi_n^{(n-1)}
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
u_1′ \\ u_2′ \\ \vdots \\ u_{n-1}’ \\ u_{n}’
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ b \end{pmatrix} \label{eq31}\tag{31}\]

Ecuación de Cauchy-Euler

La ecuación diferencial lineal de la forma

\[a_0t^n\frac{d^nx}{dt^n} + a_1t^{n-1}\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}t\frac{dx}{dt} + a_nx = b(t) \label{eq32}\tag{32}\] donde los coeficientes \(a_0,\,a_1,\,\cdots, a_{n-1},\, a_n\) son constantes, tiene los nombres de ecuación de Cauchy-Euler, ecuación de Euler.

Haciendo la sustitución

\[L(x) = a_0t^n\frac{d^nx}{dt^n} + a_1t^{n-1}\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}} + \cdots + a_{n-1}t\frac{dx}{dt} + a_nx \label{eq33}\tag{33}\], la ecuación (\ref{eq32}) toma la siguiente forma \(L(x) = b(t)\).

Ecuación de segundo orden \(L(y) = 0\)

Considere la ecuación

\[L(x) = a_0t^2\frac{d^2x}{dt^2} + a_1t\frac{dx}{dt} + a_2x = 0. \label{eq34}\tag{34}\]

Supongamos el caso \(t > 0\). Se propone la siguiente función \(t^r\) como una solución de \(L(x) = 0\). Sustituyendo \(t^r\) en la ecuación (\ref{eq34}) y facrtorizando \(t^r\) se tiene la siguiente ecaución

\[L(t^r) = q(r)t^r \label{eq35}\tag{35}\] donde \(q(r) = a_0r^2 + (a_1 – a_0)r + a_2.\)

Si las raíces \(r_1,\,r_2\) de \(q(r)=0\) son distintas, dos soluciones de (\ref{eq34}) son

\[\phi_1(t) = t^{r_1}, \qquad \phi_2(t) = t^{r_2}.\]

Si \(r_1=r_2\), se procede de manera similar a las ecuaciones lineales, es decir, bsucamos una segunda solución derivando a ambos lados de la ecaución (\ref{eq35}),

\[\frac{\partial}{\partial r}L(t^r) = L(t^r\ln t) = [q'(r) + q(r)\ln t]t^r.\] Sustituyendo \(r=r_1\), se tiene que \(L(t^{r_1}\ln t) = [q'(r_1) + q(r_1)\ln t]t^{r_1} =0.\) Por lo que si las raíces son repetidas, dos soluciones de (\ref{eq34})

\[\phi_1(t) = t^{r}, \qquad \phi_2(t) = t^{r_1}\ln t\]

Resultado 4.12 Considere la ecuación de Euler de segundo orden \[a_0t^2\frac{d^2x}{dt^2} + a_1t\frac{dx}{dt} + a_2x = 0, \qquad (a_0,\,a_1,\,a_2 \mbox{ constantes}) \label{eq36}\tag{36}\] y el polinomio \(q\) dado por \[q(r) = a_0r^2 + (a_1 – a_0)r + a_2.\] Una base para la solución de la ecuación de Euler en cualquier intervalo que no contenga al punto \(t = 0\) está dado por \[\phi_1(t) = t^{r_1}, \qquad \phi_2(t) = t^{r_2}\] cuando \(r_1,\,r_2\) son dos raíces distintas de \(q\). Y por \[\phi_1(t) = t^{r_1}, \qquad \phi_2(t) = t^{t_1}\ln t\] cuando \(r_1\) es una raíz de \(q(r)=0\) de multiplicidad dos. En cualquier caso, la solución general está dada por \[\phi = c_1\phi_1 + c_2\phi_2 \label{eq37}\tag{37}\] con \(c_1\) y \(c_2\) constantes.

La solución de la ecuación \(L(x) = b(t)\) se obtiene empleando el método de variación de parámetros.

Reducción de orden

Suponga que se ha encontrado una solución \(phi_1\) de la ecuación \[L(x) = x” + a_1(t)x’ + a_2(t)x = 0. \label{eq38}\tag{38}\]

Es posible utilizar esta solución para reducir el orden de la ecuación diferencial en uno, es decir, a una ecuación de primer orden. Se elige una solución de la forma \(\phi_2 = u\phi_1\) que satisfaga la ecuación (\ref{eq38}), esto es

\begin{equation}\begin{split}
L(\phi) =& \phi” + a_1(t)\phi’ + a_2(t)\phi \\
=& (u\phi_1)” + a_1(t)(u\phi_1)’ + a_2(t)(u\phi) \\
=& u”\phi_1 + u'(2\phi_1 + a_1\phi_1).
\end{split}\label{eq39}\tag{39}\end{equation}

Haciendo \(v = u’\), y su \(u\) es tal que \(L(u\phi_1) = 0\) se tiene la siguiente ecuación de primer orden

\[(\phi_1^2v)’ + a_1(\phi_1^2v) = 0 \label{eq40}\] cuya solución está dada por

\[\phi_1^2(t)v(t) = c\exp\left[-\int_{t_0}^t{a_1(\tau)}d\tau\right] \label{eq41}\tag{41} \] donde \(t_0\) es un punto en \(I\) y \(c\) es una constante. Despejando \(v(t)\) en \(\ref{eq41}\) y considerando que \(v = u’\) \[u(x) = \int_{t_0}^t{\frac{1}{[\phi_1(s)]^2}\exp\left[-\int_{t_0}^sa_1(\tau)d\tau\right]ds} \label{eq42}\tag{42}\] y finalmente \(\phi = u\phi_1\).