Introducción

Ecuación diferencial. Definición

Una ecuación que contiene las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes es una ecuación diferencial (ED)

\begin{equation}
\frac{d^2 x}{dt^2} + \sin(t)\frac{dx}{dt} = t \label{eq1}\tag{1}
\end{equation}
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \label{eq2}\tag{2}
\end{equation}

Clasificación

1. Tipo
2. Orden
3. Linealidad

a) Clasificación por el tipo

• Ecuación diferencial ordinaria
  • La ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente (ver Ecuación (\ref{eq1}))
• Ecuación diferencial en derivadas parciales
  • La ecuación contiene derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes (ver Ecuación (\ref{eq2}))

b) Clasificación por el orden

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación.

Ejemplo

La siguiente ecuación

\begin{equation}
\frac{d^2 x}{dt^2} + \sin(t)\left(\frac{dx}{dt}\right)^4 = t \label{eq3}\tag{3}
\end{equation}

es una ecuación diferencial ordinaria de orden 2.

Observe que \(\frac{d^2 x}{dt^2}\) tiene grado 1, y \(\left(\frac{dx}{dt}\right)^4\) tiene grado 4.

Notación de derivadas ordinarias

• Notación de Leibniz. \(\frac{dx}{dt}\), \(\frac{d^2x}{dt^2}\), \(\frac{d^3x}{dt^3}\), …, \(\frac{d^nx}{dt^n}\), … ,
• Notación con primas. \(x’\), \(x”\), … , \(x^{(n)}\), … ,
• Notación de Newton. \(\dot{x}\), \(\ddot{x}\), … ,

Una ecuación de orden \(n\), en una variable dependiente, se puede expresar de la forma

\begin{equation}
F(t,x,x’,\cdots,x^{(n)}) = 0 \label{eq4}\tag{4}
\end{equation}

donde \(F\) es una función de valor real de \(n+2\) variables, \(t,x,x’,\cdots,x^{(n)}\) con \(x^{(n)} = \frac{d^n x}{dt^n}\).

Suponemos que la ecuación (\ref{eq4}) se puede expresar como

\begin{equation}
\frac{d^nx}{dt^n} = f(t,x,x’,\cdots,x^{(n-1)}). \label{eq5}\tag{5}
\end{equation}

A la ecuación (\ref{eq5}) se le llama forma normal de (\ref{eq4}).

c) Clasificación por la linealidad

Una ecuación diferencial como (\ref{eq4}) es lineal si \(F\) es lineal en \(x\), \(x’\), …, \(x^{(n-1)}\), es decir, cuando la ecuación (\ref{eq4}) se expresa como

\begin{equation}
a_n(t)\frac{d^nx}{dt^n} + a_{n-1}(t)\frac{d^{n-1}x}{dt^{n-1}}+\cdots+a_1(t)\frac{dx}{dt} + a_0(t)x = g(t). \label{eq6}\tag{6}
\end{equation}

Si (\ref{eq6}) no se cumple, decimos que la ecuación diferencial es no lineal.

Ejemplos

Ejemplo 1

\[ \frac{d^3x}{dt^3} + x\frac{dx}{dt} = 0. \label{eq7}\tag{7} \]

Ejemplo 2

\[\sin(t)\frac{d^3x}{dt^3} + t^2\frac{d^2x}{dt^2} + 3\frac{dx}{dt} + x(t) = 12.\label{eq8}\tag{8}\]

La ecuación (\ref{eq7}) es una ecuación diferencial ordinaria, no lineal debido al término \(x\frac{dx}{dt}\), y de orden 3. La ecuación diferencial (\ref{eq8}) es una ecuación lineal de orden 3.

Ejemplo 3

La ecuación del péndulo oscilante, que describe la posición \(\theta\) que un péndulo de longitud \(L\) forma con la vertical, es una ecuación diferencial no lineal

\begin{equation}
\frac{d^2\theta}{dt^2} + \frac{g}{L}\sin\theta = 0. \label{eq9}\tag{9}
\end{equation}

Solución de una ecuación diferencial ordinaria

Cualquier función \(\phi\) definida en un intervalo \(I\) que posee al menos \(n\) derivadas continuas en \(I\), que al sustituirse en una ecuación diferencial ordinaria (EDO) de orden \(n\) reduce la ecuación a una identidad, es una solución de la ecuación en el intervalo.

Es decir, si \(\phi\) es una función con al menos \(n\) derivadas

\[ F(t,\phi(t),\cdots,\phi^{(n)}(t)) = 0 \quad \mbox{para toda } t \mbox{ en } I\]

se dice que \(\phi\) satisface la ecuación diferencial en \(I\).

El intervalo \(I\) tiene los nombres intervalo de definición, intervalo de existencia, intervalo de validez, dominio de la solución, y puede ser un intervalo abierto \((a,b)\), cerrado \([a,b]\), infinito, \((a,\infty)\), etc.

Ejemplos

Ejemplo 1

Verifique que cada función dada es una solución de la ecuación diferencial

\begin{equation}
y” – y = 0, \qquad \phi_1(t) = \exp(t), \quad \phi_2(t) = \cosh(t).\label{eq10}\tag{10}
\end{equation}

Si \(\phi_1(t)\) y \(\phi_2(t)\) son soluciones de la ecuación diferencial (\ref{eq10}), se debe cumplir que \[ \phi”(t) -\phi(t) = 0. \label{eq10a}\tag{10a}\]

Derivando \(\phi_1(t)\) dos veces y sustituyendo las derivadas en la ecuación diferencial (\ref{eq10a}) se tiene que \( \phi_1”(t) = \exp(t) \), por lo que \[ \exp(t) – \exp(t) = 0. \] Por lo tanto \(\phi_1(t)\) es solución. Se sigue un procedimiento similar con \(\phi_2(t). \)

Ejemplo 2

Dada la siguiente función, verifique que es solución de la ecuación diferencial

\begin{equation}
2.\quad ty’ – y = t^2, \qquad \phi(t) = 3t + t^2. \label{eq11}\tag{11}
\end{equation}

Siguiendo un procedimiento similar al ejemplo 1. Si \(\phi \) es solución de la ecuación en (\ref{eq11}), se debe cumplir que \[t\phi'(t) – \phi(t) = t^2.\label{eq11a}\tag{11a}\]

Derivado \(\phi(t) = 3t + t^2\) y sustituyendo en la ecuación diferencial (\ref{eq11a}) se tiene que \(\phi'(t) = 3 + 2t\),

\[t\phi'(t) – \phi(t) = t(3 + 2t) – (3t + t^2) = t^2 \] por lo que \(\phi(t)= 3t + t^2 \) es solución de la ecuación (\ref{eq11}).

Soluciones explícitas e implícitas de ecuaciones diferenciales ordinarias

Solución explícita

Suponga una ecuación diferencial de primer orden \[F(t,x(t),x'(t)) = 0. \label{eq12}\tag{12} \]

La función \[x(t) = \phi(t)\] es una solución explícita de (\ref{eq12}) siempre que se cumpla que \(F(t,\phi(t),\phi'(t)) = 0\) para toda \(t\) en \(I\). En una solución explícita, la variable dependiente se expresa solo en términos de la variable independiente y constantes.

Ejemplo

La función \(\phi(t) = \exp(t)\), en el intervalo \(I = (-\infty,+\infty)\) es una solución explícita de la ecuación \[\frac{dx}{dt} = x(t). \]

Solución implícita

Una relación \(G(t,x)=0\) es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria (\ref{eq12}), en un intervalo \(I\), siempre que exista al menos una función \(\phi\) que satisfaga tanto la relación como la ecuación diferencial en \(I\).

No siempre es posible resolver la relación \(G(t,x)=0\) para \(x(t)\). Sin embargo, se puede probar la solución \(x'(t)\) obtenida por diferenciación implícita:

\[\frac{\partial G}{\partial t} + \frac{\partial G}{\partial x}x'(t) = 0, \mbox{ ó } x'(t) = -G_t/G_x \] donde \(G_t = \frac{\partial G}{\partial t}\) y \(G_x = \frac{\partial G}{\partial x}\) y verificar que \[F(t,x,-G_t/G_x) = 0.\]

Ejemplo

Considere la siguiente ecuación diferencial y la relación dada por

\begin{equation}
2tx dt + (t^2 – x)dx = 0, \qquad -2t^2x + x^2 = 1. \label{eq13}\tag{13}
\end{equation}

Se puede comprobar que cualquiera de las dos funciones

\[\phi_1(t) = t^2 + \sqrt{1 + t^4}, \qquad \phi_2(t) = t^2 – \sqrt{1 + t^4}\]

satisfacen la ecuación y la relación en (\ref{eq13}). Por lo que \(-2t^2x + x^2 = 1\) es una solución implícita de la ecuación diferencial (\ref{eq13}).

Familia de soluciones

Similar a cálculo integral, cuando se resuelve una ecuación diferencial de primer orden \(F(t,x(t),x'(t)) = 0\) usualmente se obtiene una solución que contiene una constante arbitraria o parámetro \(c\). Dicha solución se expresa como \(G(t,x(t),c) = 0\). Al conjunto de soluciones \(G(t,x(t),c) = 0\) se le llama familia de soluciones uniparamétrica. En el caso general, para una ecuación diferencial de orden \(n\), \(F(t,x,x’,x”,\cdots,x^{(n)})=0\) se obtiene una solución con \(n\) parámetros, esto es, \(G(t,x,c_1,c_2,\cdots,c_n)=0\) y se le llama familia \(n\)-paramétrica de soluciones.

Cuando una familia de soluciones está libre de parámetros o se ha asignado un valor específico a los parámetros \(c_i\) se obtiene una solución particular.

• Solución particular. Es una solución de una ecuación diferencial sin parámetros arbitrarios

Ecuación diferencial	Familia de soluciones	Solución particular
\(\frac{dx}{dt}=x^2(t)\)	\(\phi(t)=1/(c-t)\)	\(\phi(t)=1/(2-t), \,\, c=2\)
\((x’)^2 – 4x = 0\)	\(\phi(t) = t^2 + ct + c^2/4\)	\(\phi(t) = t^2 + 3t + 9/4\), \(c= 3\)
\(tx’ + 3x = 6t^3\)	\(\phi(t) = t^3 + c/t^3\)	\(\phi(t) = t^3, \,\, c= 0\)
\(2t^2x” – (x’)^2 = 0\)	\(\phi(t)=2t/c_1 – (2/c_1^2)\ln(1+c_1t) + c_2\)	\(\phi(t)=t – (1/2)\ln(1+2t) + 4\), \(c_1 = 2,\,\,c_2 = 4\)

• Solución singular. Es una solución que no se obtiene de una familia de soluciones especializando cualquiera de sus parámetros

Ecuación diferencial	Familia de soluciones	Solución singular
\(\frac{dx}{dt}=x^2\)	\(\phi(t)=1/(c-t)\)	\(\phi(t)=0\)
\(2t^2x” – (x’)^2 = 0\)	\(\phi(t)=2t/c_1 – (2/c_1^2)\ln(1+c_1t) + c_2\)	\(\phi(t) = t^2\)
\((x’)^2 -tx’ + x = 0\)	\(\phi(t) = ct – c^2\)	\(\phi(t) = t^2/4\)

Ecuación diferencial de una familia de curvas

Dada una familia de curvas \(n\)-paramétrica \(G(t,x,c_1,c_2,\cdots,c_n) = 0\) es posible determinar una ecuación diferencial cuya solución general sea dicha familia de curvas dada.

Un procedimiento para obtener una ecuación diferencial de una familia de curvas consiste en eliminar las \(n\) constantes \(c_i,\,i=1,2,\cdots,n\), por lo que derivamos \(n\) veces la ecuación de la familia \(G(t,x,c_1,c_2,\cdots,c_n) = 0\)

\begin{equation}\begin{gathered}
\frac{d}{dt}G(t,x,c_1,c_2,\cdots,c_n) = 0 \\
\frac{d^2}{dt^2}G(t,x,c_1,c_2,\cdots,c_n) = 0 \\
\frac{d^3G}{dx^3}(t,x,c_1,c_2,\cdots,c_n) = 0 \\
\vdots \\
\frac{d^n}{dt^n}G(t,x,c_1,c_2,\cdots,c_n) = 0
\end{gathered}\end{equation}

y se resuelve para las \(n\) constantes que se sustituirán en la familia de curvas dada.

Ejemplo

Encontrar una ecuación diferencial para la familia de curvas dada

\begin{equation}
x(t) = t + c\sin(t). \label{eq14}\tag{14}
\end{equation}

Derivando la ecuación (\ref{eq14}) y despejando el parámetro \(c\)

\[c = \frac{x'(t) – 1}{\cos(t)}\]

y sustituyendo en (\ref{eq14}) se obtiene la ecuación diferencial

\[x'(t) = 1 + \cot(t)(x(t) – t).\]