Ecuaciones diferenciales de primer orden

Sea \(f\) una función definida para todos los valores de \(t\) en un intervalo \(I\) y \(x\) en un intervalo \(S\). Denotamos al valor de \(f\) en el punto \((t,x)\) como \(f(t,x)\).

Suponga el problema de encontrar una función \(\phi\) diferenciable en \(I\), tal que para toda \(t\) en \(I\)

1. \(\phi(t)\) está en \(S\)
2. \(\phi'(t) = f(t,\phi(t)).\)

A tal problema se le llama ecuación diferencial de primer orden, y se denota como

\begin{equation}
x’ = f(t,x). \label{eq1}\tag{1}
\end{equation}

Si la función \(\phi\) existe en \(I\) que satisface 1. y 2., \(\phi\) es una solución de la ecuación (\ref{eq1}) en \(I\).

Considere el problema de encontrar soluciones de la ecuación

\begin{equation}
x’ = f(t,x) \label{eq2}\tag{2}
\end{equation}

donde \(f\) es cualquier función continua con valores reales definida en un rectángulo \(R\):

\[
R: \quad |t- t_0|\leq a, \qquad |x – x_0| \leq b, \qquad (a,b > 0)
\]

en el plano real \((t,x)\).

Objetivo. Mostrar que en algún intervalo \(I\) que contiene al punto \(t_0\) hay una solución \(\phi\) de (\ref{eq2}) que satisface

\[
\phi(t_0) = x_0. \label{eq3}\tag{3}
\]

Es, decir, hay una función \(\phi\) diferenciable que satisface (\ref{eq2}) tal que los puntos \((t,\phi(t))\) estén en \(R\) cuando \(t\) está en \(I\) y \[\phi'(t)=f(t,\phi(t))\] para toda \(x\) en \(I\).

Tal función \(\phi\) es una solución del problema de valor inicial

\[
x’ = f(t,x), \quad x(t_0) = x_0 \label{eq4}\tag{4}
\]

en \(I\).

La ecuación (\ref{eq4}) es equivalente a la ecuación integral

\[ x = x_0 + \int_{t_0}^t{f(\tau,x)}d\tau \label{eq5}\tag{5}\]

en \(I\).

De igual manera, una solución de la ecuación (\ref{eq5}) en \(I\) es una función continua \(\phi\) en \(I\) tal que \(t,\phi(t)\) está en \(R\) para toda \(t\) en \(I\) y está dada por

\begin{equation}
\phi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f(\tau,\phi(\tau))d\tau \label{eq6}\tag{6}
\end{equation}

para toda \(t\) en \(I\).

Si \(f\) es continua en \(R\), entonces \(f\) es acotado y existe una constante \(M>0\) tal que \(|f(t,x)|\leq M\) para toda \((t,x)\in R\).

Resultado 2.1 Una función \(\phi\) es una solución del problema de valor inicial \[x'(t) = f(t,x), \qquad x(t_0) = x_0\] en un intervalo \(I\) si y solo si esta es solución de la ecuación integral \[x(t) = x_0 + \int_{t_0}^t{f(\tau,x)}d\tau\] en \(I\).

Método de aproximaciones sucesivas

Tomamos como una primera aproximación a la ecuación (\ref{eq4}) a la función \(\phi_0\) definida como

\[\phi_0(t) = y_0,\] la cual satisface la condición inicial \(\phi_0(t_0)=y_0\), pero en general la ecuación (\ref{eq4}) no se cumple.

Continuando con la siguiente aproximación

\[\phi_1(t) = x_0 + \int_{t_0}^t{f(\tau,\phi_0(\tau))}dt,\] donde \(\phi_1\) se espera que sea una mejor aproximación que \(\phi_0\). Continuando con este proceso, y definiiendo las siguientes aproximaciones (\ref{eq4})

\begin{equation}\begin{split}
\phi_{k+1}(t) =& x_0 + \int_{t_0}^t{f(\tau,\phi_k(\tau))}dt, \qquad (k=0,1,2,\cdots), \\
\phi_0(t) =& x_0
\end{split} \label{eq7}\tag{7} \end{equation}

si \(k\rightarrow \infty\), se espera que \(\phi_k(t) \rightarrow \phi(x)\) donde \(\phi\) satisface \[\phi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t{f(\tau,\phi(\tau))}d\tau\]

\[\phi(x) = y_0 + \int_{x_0}^x{f(t,\phi(t))}dt\]

y \(\phi\) sería una solución deseada.

A las funciones \(\phi_0\), \(\phi_1\), \(\phi_2\),…, en (\ref{eq7}) se les llama aproximaciones sucesivas a una solución de la ecuación integral (\ref{eq6}).

Resultado 2.2 Las aproximaciones sucesivas \(\phi_k\), definidas en (\ref{eq7}) existen como funciones continuas en \[ I: \quad |t – t_0| \leq \alpha=\min{a,b/M}\] y \((t,\phi_k(t))\) está en \(R\) para \(t\) en \(I\). \(\phi_k\) satisface \[ |\phi_k(t) – x_0| \leq M|t-t_0| \] para toda \(t\) en \(I\)

Ejemplos

1. Considere los problemas de valor inicial \[(a)\quad x'(t) = 3x(t) + 1,\,\, x(0)=2, \quad x'(t) = t^2 + x^2(t),\,\,\ x(0) = 0. \] Calcular las primeras 4 aproximaciones \(\phi_0\), \(\phi_1\), \(\phi_2\), \(\phi_3\) a la solución.
2. Considere el problema \[x'(t)=t^2 + x^2(t), \,\, x(0)=0, \,\, R: |t|\leq 1,\quad |x|\leq 1 \]
   1. Calcular una cota superior \(M\) para la función \(f(t,x) = t^2 + x^2(t)\) en \(R\)
   2. Encontrar el intervalo que contiene al punto \(t_0\) tal que las aproximaciones sucesivas existirían y que sus gráficas están en \(R\).

Condición de Lipschitz

Sea \(f\) una función definida para \((t,x)\) en un conjunto \(S\). Se dicen que \(f\) satisface una colección de Lipschitz en \(S\) si existe una constante \(K >0\) tal que \[f(t,x_1) – f(t,x_2) \leq K|x_1 – x_2|\] para toda \((t,x_1), (t,x_2)\) en \(S\). A la constante \(K\) se le conoce como constante de Lipschitz.

Resultado 2.3 Suponga \(S\) un rectángulo \[ |t -t_0| \leq a, \quad |x -x_0| \leq b, \quad (a,b > 0)\] o una franja \[ |t -t_0| \leq a, \quad |x -x_0| < \infty, \quad (a > 0)\] y \(f\) es una función con valores definida en \(S\) tal que \(\partial f/\partial x\) existe, es continua en \(S\) y \[|\frac{\partial f}{\partial x}|\leq K. \quad (t,x)\in S\] para alguna vonstante \(K > 0\). Entonces \(f\) satisface una condición de Lipschitz en \(S\) con constante de Lipschitz \(K\).

Ejemplos

Calcular una constante de Lipschitz para las siguientes funciones en los conjuntos \(S\) indicados

1. \(f(t,x) = 4t^2 + x^2,\) con \(S: |t|\leq 1,\quad |x|\leq 1\)
2. \(f(t,x) = t^2\cos^2x + x\sin^2t,\) con \(S: |t|\leq 1, \quad |x|\leq \infty\)

Teorema de existencia sea \(f\) una función de valores reales en el rectángulo \[R: |t -t_0| \leq a, \quad |x – x_0|\leq b, \quad (a,b > 0)\] y sea \[ f(t,x) \leq M\] para todo \((t,x)\) en \(R\). Suponga que \(f\) satisface una condición de Lipschitz con constante \(K\) in \(R\). Entoonces, las aproximaciones sucesivas \[\begin{split}\phi_0(t) =& x_0 \\ \phi_{k+1}(t) =& x_0 + \int_{t_0}^t{\tau,\phi_k(\tau)}d\tau, \quad k=0,1,2\cdots, \end{split}\] converge en el intervalo \[ I: |t-t_0| \leq \alpha = \min{a,b/M}\] a una solución \(\phi\) del problema de valor inicial \[x'(t) = f(t,x), \quad x(t_0) = x_0\] en \(I\).

Teorema de unicidad Sea \(f\) una función continua que satisface una condición de Lipschitz en \(R\). Si \(\phi\) y \(\psi\) son dos soluciones de la ecuación \[x'(t) = f(t,x), \quad x(t_0) = x_0\] en un intervalo \(I\) que contiene \(x_0\), entonces \(\phi(t) = \psi(t)\) para toda \(x\) en \(I\).

Esto es, para verificar la existencia y unicidad de una ecuación diferencial ordinaria de orden uno es suficiente verificar que \(f(t,x)\) y \(\frac{\partial f}{\partial x}\) son continuas \(R\). Los teoremas anteriores se expresan como

Sea \(R\) una región rectangular del plano \(tx\), definida por \[R: |t -t_0| \leq a, \quad |x – x_0|\leq b, \quad (a,b > 0).\] Si \(f(t,x)\) y \(\frac{\partial f}{\partial x}\) son continuas en \(R\), entonces existe un intervalo \[ I: |t-t_0| \leq \alpha, \quad \alpha > 0 \] contenido en \(|t -t_0|\leq a \), y una función única \(\phi(t)\), definida en \(I\), que es solución del problema de valor inicial \[x'(t) = f(t,x), \quad x(t_0) = x_0.\]

Ecuaciones diferenciales de variables separables

Definición. Una ecuación diferencial de primer orden

\begin{equation}
x'(t) = f(t,x), \label{eq8}\tag{8}
\end{equation}

se dice que es de variables separables si \(f\) se puede escribir en la forma \[f(t,x) = \frac{g(t)}{h(x)}, \quad h(x) \neq 0\] donde \(g\) y \(h\) son funciones de un solo argumento. En este caso se puede escribir la ecuación (\ref{eq8}) en la forma \[h(x)\frac{dx}{dt} = g(t), \quad h(x)dx = g(t)dt\]

Ecuaciones homogéneas

Una función \(f\) definida para valores reales \(t,x\) se dice que es homogénea de grado \(k\) si

\begin{equation} f(st,sx)=s^kf(t,x) \label{eq9}\tag{9} \end{equation}

para toda \(s,t,x\).

Si \(f\) es homogénea de grado cero, se tiene

\begin{equation}
f(st,sx) = f(t,x) \label{eq10}\tag{10}
\end{equation}

y se dice que la ecuación \(x'(t) = f(t,x)\) es homogénea. Tal ecuación se puede reducir a una ecuación de variables separables con la sustitución \(x = ut\)

\begin{equation}\frac{du}{dt} = \frac{f(1,u) – u}{t} \label{eq11}\tag{11} \end{equation}

Ecuaciones diferenciales de la forma \(-(a_1t + b_1x + c_1)dt + (a_2t + b_2x + c_2)dy = 0\)

La ecuación diferencial

\begin{equation}
x'(t) = \frac{a_1t + b_1x + c_1}{a_2t + b_2x + c_2} \label{eq12}\tag{12}
\end{equation}

donde \(a_1, a_2, b_1, b_2, c_1, c_2\) son constantes (\(c_1, c_2\) no ambas cero) se puede reducir a una ecuación homogénea con la siguiente sustitución \(t = \zeta + h\), \(y = \eta + k\), donde \(h\) y \(k\) son constantes. La ecuación (\ref{eq12}) se reduce a

\begin{equation}
\frac{d\eta}{d\zeta} = \frac{a_1\zeta + b_1\eta + a_1h + b_1k + c_1}{a_2\zeta + b_2\eta + a_2h + b_2k + c_2}. \label{\label{eq13}}\tag{13}
\end{equation}

Cuando \(h\) y \(k\) satisfacen las ecuaciones

\[\begin{split}
a_1h + b_1k + c_1 =& 0 \\
a_2h + b_2k + c_2 =& 0
\end{split}\label{eq14}\tag{14}\]

la ecuación será homogénea.

Si las ecuaciones en (\ref{eq14}) no tienen solución, \(a_1b_2 – a_2b_1 = 0\), elegir cualquier sustitución \[u = a_1t + b_1x + c_1 \mbox{ ó } u = a_2t + b_2x + c_2\] resulta en una ecuación de variables separables.

Ecuaciones exactas

Suponga que la ecuación de primer orden \(x'(t) = f(t,x)\) se puede escribir en la forma

\begin{equation} x'(t) = \frac{-M(t,x)}{N(t,x)} \label{eq15}\tag{15} \end{equation}

o de manera equivalente

\begin{equation} M(t,x) + N(t,x)x'(t) = 0 \label{eq16}\tag{16} \end{equation}

donde \(M\) y \(N\) son funciones definidas para valores de \(t\) y \(x\) en un rectángulo \(R\). La ecuación (\ref{eq16}) se dice que es exacta en \(R\) si existe una función \(F\) con primeras derivadas parciales continuas tal que

\begin{equation}
\frac{\partial F}{\partial t} = M(t,x), \quad \frac{\partial F}{\partial x} = N(t,x) \label{eq17}\tag{17}
\end{equation}

Resultado 2.4 Suponga la ecuación \[M(t,x) + N(t,x)x'(t) = 0 \label{eq18}\tag{18} \] es exacta en un rectángulo \(R\), y \(F\) es una función con valores reales tal que \[\frac{\partial F}{\partial t} = M(t,x), \quad \frac{\partial F}{\partial x} = N(t,x) \label{eq19}\tag{19}\] en \(R\). Cada función diferenciable \(\phi\) definida implícitamente por la relación \[f(t,x) = c, \mbox{ con } c = \mbox{constante} \] es una solución de la ecuación (\ref{eq18}) y cada solución de (\ref{eq18}) cuya gráfica está en \(R\) se obtiene de esta manera.

Resultado 2.5 Sean \(M\) y \(N\) dos funciones con primeras derivadas parciales continuas en algún rectánfulo \(R\) \[R: |t -t_0|\leq a, \quad |x – x_0|\leq b.\] La ecuación \[M(t,x) + N(t,x)x’ = 0\] es exacta en \(R\) si y solo si \[\frac{\partial M}{\partial x} = \frac{\partial N}{\partial t}. \label{eq20}\tag{20}\]

Factor integrante

Considere la ecuación \[M(t,x)dt + N(t,x)dx = 0 \label{eq21}\tag{21}\] donde \(M\) y \(N\) tienen primeras derivadas parciales continuas en algún rectángulo \(R\). Tal ecuación puede no ser exacta, sin embargo, puede ser posible encontrar una función \(u\) distinto de cero, llamada factor integrante, tal que \[u(t,x)M(t,x)dt + u(t,x)N(t,x)dx = 0 \label{eq22}\tag{22}\] sea exacta.

Empleando la ecuación (\ref{eq20}) en la ecuación (\ref{eq21})

\begin{equation}
u(t,x)\left(\frac{\partial M}{\partial x} – \frac{\partial N}{\partial t}\right) = -M(t,x)\frac{\partial u}{\partial x} + N(t,x)\frac{\partial u}{\partial t} \label{eq23}\tag{23}
\end{equation}

Para la ecuación (\ref{eq23}) se hacen las siguientes suposiciones

1. \(u(t,x)\) solo depende de \(t\). \(u(t)\) se obtiene de \[u(t) = \exp(P(t)), \quad P'(t) = \frac{1}{N(t,x)}\left(\frac{\partial M}{\partial x} – \frac{\partial N}{\partial t}\right) \label{eq24}\tag{24}\]
2. \(u(t,x)\) solo depende de \(x\). \(u(x)\) en (\ref{eq23}) se obtiene de \[u(x) = \exp(Q(x)), \quad Q'(x) = -\frac{1}{M(t,x)}\left(\frac{\partial M}{\partial x} – \frac{\partial N}{\partial t}\right) \label{eq25}\tag{25}\]

Factor integrante de algunas expresiones diferenciales

Suponga ahora un factor inegrante de la forma \(u = u(\vartheta)\) donde \(\vartheta\) es una función de \(t\) y \(x\).

La ecuación (\ref{eq23}) toma la siguiente forma

\begin{equation}
\frac{1}{u}\frac{du}{d\vartheta} =
\frac{M_x – N_t}{-M\vartheta_x + N\vartheta_t} \label{eq26}\tag{26}
\end{equation}

donde \(M_x = \frac{\partial M}{\partial x}\) y de manera similar con \(N_t\), \(\vartheta_x\), \(\vartheta_t\).

Si \(\vartheta = t\) ó \(\vartheta = x\), la solución para \(u\) en (\ref{eq26}) toma la forma presentada en (\ref{eq24}), (\ref{eq25}).

3. Si \(\vartheta = t – x\). \(u(\vartheta)\) se obtiene de \[u(\vartheta) = \exp(\phi(\vartheta)), \quad \phi'(\vartheta) = \frac{M_x – N_t}{M(t,x) + N(t,x)}\label{eq27}\tag{27}\]
4. Si \(\vartheta = tx\). \(u(\vartheta)\) se obtiene de \[u(\vartheta) = \exp(\phi(\vartheta)), \quad \phi'(\vartheta) = \frac{M_x – N_t}{-M(t,x)t + N(t,x)x}\label{eq28}\tag{28}\]
5. Si \(\vartheta = \frac{t}{x}\). \(u(\vartheta)\) se obtiene de \[u(\vartheta) = \exp(\phi(\vartheta)), \quad \phi'(\vartheta) = \frac{(M_x – N_t)x^2}{tM(t,x) + xN(t,x)}\label{eq29}\tag{29}\]
6. Si \(\vartheta = t^2 + x^2\). \(u(\vartheta)\) se obtiene de \[u(\vartheta) = \exp(\phi(\vartheta)), \quad \phi'(\vartheta) = \frac{M_x – N_t}{-2M(t,x)x + 2N(t,x)t}\label{eq30}\tag{30}\]

Ecuaciones lineales de primer orden

Una ecuación diferencial de primer orden

\begin{equation}
\frac{dx}{dt} + a(t)x = b(t) \label{eq31}\tag{31}
\end{equation}

donde \(a\) y \(b\) son funciones definidas en un intervalo \(I\), es una ecuación lineal.

• Si \(b(t) = 0\) para toda \(t \in I\), \(\frac{dx}{dt} + a(t)x = 0\) se llama ecuación homogénea.
• Si \(b(t)\) no es identicamente cero en \(I\), \(\frac{dx}{dt} + a(t)x = b(t)\) se llama ecuación homogénea.

Resultado 2.6 Considere la ecuación homogénea \[\frac{dx}{dt} + a(t)x = 0 \label{eq32}\tag{32}\] donde \(a\) es una constante. La función \(\phi\) definida por \[\phi(t) = c\exp(-at) \label{eq33}\tag{33}\] con \(c\) constante, es una solución de (\ref{eq32}), y cada solución tiene esta forma.

Resultado 2.7 Considere la ecuación no homogénea \[\frac{dx}{dt} + a(t)x = b(t) \label{eq34}\tag{34}\] donde \(a\) es una constante y \(b\) es una función continua en un intervalo \(I\). Si \(t_0\) es un punto en \(I\) y \(c\) es una constante, la función \(\phi\) definida por \[\phi(t) = \exp(-at\int_{t_0}^t{\exp(a\tau)b(\tau)}d\tau) + c\exp(-at) \label{eq35}\tag{35}\] es una solución de (\ref{eq34}), y cada solución tiene esta forma.

Resultado 2.8 Suponga \(a\) y \(b\) funciones continuas en un intervalo \(I\). Sea \(A\) una función tal que \(A’ = a\). Entonces, la función \(\psi\) dada por \[\psi(t) = \exp(-A(t))\int_{t_0}^t{\exp(A(\tau))b(\tau)d\tau}, \label{eq36}\tag{36}\] donde \(t_0\) está en \(I\), es una solución de la ecuación \[x'(t) + a(t)x = b(t). \label{eq37}\tag{37}\] La función \(\phi_1\) dada por \[\phi_1(t) = \exp(-A(t))\] es una solución de la ecuación homogénea \[x'(t) + a(t)x(t) = 0.\] Si \(c\) es una constante, \(\phi = \psi + c\phi_1\), es decir \[\phi(t) = \exp(-A(t))\int_{t_0}^t{\exp(A(\tau))b(\tau)d\tau} + c\exp(-A(t)) \label{eq38}\tag{38}\] es una solución de (\ref{eq37}), y cada solución tiene esta forma.

Ecuación de Bernoulli

La ecuación diferencial \[x’ + \alpha(t)x= \beta(t)x^k, \label{eq39}\tag{39} \] donde \(k\) es una constante, se llama ecuación de Bernoulli.

Cuando \(k=0\), \(k=1\), la ecuación \ref{eq39} es lineal. La sustitución \(z = x^{1-k}\) transforma (\ref{eq39}) a una ecuación lineal \[z’ + (1-k)\alpha(t)z = (1-k)\beta(t). \label{eq40}\tag{40}\]

Ecuaciones de segundo orden reducible

Una ecuación diferencial de segundo orden tiene la forma general \[F(t,x,x’,x”)=0.\label{eq41}\tag{41}\]

Casos de estudio.

1. Ausencia de la variable dependiente \(y\). En la ecuación resultante \(F(t,x’,x”)=0\), hacemos la sustitución \[p = x’ = \frac{dx}{dt}, \qquad x” = \frac{dp}{dt}\] lo que resulta en una ecuación diferencial de primer orden \(F(t,p,p’)=0\).
2. Ausencia de la variable independiente \(t\). En la ecuación resultante \(F(x,x’,x”)=0\), se hace la sustitución \[p = x’ =\frac{dx}{dt}, \quad x” = \frac{dp}{dx}\frac{dx}{dt} = p\frac{dp}{dx}\] y se resuelve la ecuación diferencial de primer orden \(F(x,p,p\frac{dp}{dx})=0\) para \(p\) como una función de \(x\).