Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

Trayectorias ortogonales

Suponga \(C_1\) y \(C_2\) dos curvas que se cortan en un punto \((t,x)\), se dice que se cortan ortogonalmente sis su rectas tangentes en dicho punto son ortogonales. Dada una familia de curvas de la forma \(G_1(t,x,c_1)=0\) se dice que una curva \(C\) es una trayectoria ortogonal a dicha familia si en cada punto en que \(C\) corta a una curva de la familia lo hace ortogonalmente, esto es, las dos rectas tangentes en el punto de corte son perpendiculares. Dadas dos familias de curvas \(\Gamma_1 = G_1(t,x,c_1)=0\), \(\Gamma_2 = G_2(t,x,c_2)=0\), se dice que las familias de curvas \(\Gamma_2\) son trayectorias ortogonales a la familia \(\Gamma_1\) si cada curva de la familia \(\Gamma_2\) corta ortogonalmente a la familia \(\Gamma_1\) y toda curva ortogonal a esta última familia pertenece a \(\Gamma_2\).

Crecimiento y decrecimiento

El problema de valor inicial \[\frac{dx}{dt} = kx, \quad x(t_0) = x_0, \label{eq1}\tag{1}\] donde \(k\) es una constante de proporcionalidad, se emplea como modelo de distintos fenómenos en los que intervienen crecimiento, decaimiento o desintegración.

La ecuación (\ref{eq1}) tienen como solución \[x(t) = x_0\exp(k(t-t_0)) \label{eq2}\tag{2}\] donde si \(k>0\) la función exponencial \(\exp(kt)\) crece sin límite al aumentar \(t\), y converge a cero si \(k < 0\) al aumentar \(t\).

Enfriamiento

De acuerdo a la ley empírica de enfriamiento de Newton acerca del enfriamiento, la razón con la que cambia la temperatura de un objeto es proporcional a la diferencia entre su temperatura y la temperatura del medio que lo rodea, que generalmente es la temperatura ambiente. La ecuación diferencial que modela dicho fenómeno está dada por \[\frac{dT}{dt} = k(T-T_m) \label{eq3}\tag{3}\] donde \(k\) es una constante de proporcionalidad, \(T\) es la temperatura del objeto al tiempo \(t\), \(T_m\) es la temperatura constante del medio que lo rodea, \(\frac{dT}{dt}\) es la razón con la que la temperatura del cuerpo cambia.

La solución de la ecuación (\ref{eq3}) por medio del metodo de separación de variables está dada por \[T(t) = T_m + ce^{kt}. \label{eq4}\tag{4}\]